树与堆

   日期:2020-05-03     浏览:94    评论:0    
核心提示:1.树:   树: 树是一种数据结构. 树是一种可以递归定义的数据结构. 树由n个节点组成的集合 n=0时,是空树 n>0,一个节点作为根节点,其他节点可以分为m个集合,每个集合本身又是一棵树(这就是重复单元)   树的度:整个树中最大的节点的度就是树

1.树:

 

树:

树是一种数据结构.

树是一种可以递归定义的数据结构.

树由n个节点组成的集合

n=0时,是空树

n>0,一个节点作为根节点,其他节点可以分为m个集合,每个集合本身又是一棵树(这就是重复单元)

 

树的度:整个树中最大的节点的度就是树的度

节点的度:就是一个节点的子节点有多少个

父节点:在上面紧挨着它的节点就是父节点(A是D的父节点,但是A不是H的父节点)

子节点:一个节点下面紧挨着它的节点就是它的子节点(A下面的B,C,D,E,F,G都是它的子节点)

根节点(上面没有父节点):A

叶子节点(后面不能再分叉):B,C,H,I,P,Q,K,L,M,N,或者说度为0的节点就叫叶子节点

树的深度(高度):根到叶子最长的节点个数(就是最多几层)

子树:EIJPQ就是个子树

 

 

二叉树:

度不超过2的树(整个树中每个节点最多有连个孩子节点,分别为左孩子节点和右孩子节点)就是二叉树

 

 

满二叉树:

一个二叉树,如果每一层的节点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树.

如图:

 

 

完全二叉树:


叶子节点只能出现在最下层和次下层,并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

如图:

 

 

二叉树的顺序存储方式:

 

 节点的索引下标用红字写在上面了

看一下父节点(假设是i)的下标与左右孩子结点的关系

所有左节点的下标都是2i+1(可以试i=0,1,2,3得到的索引全是左下标)

 

 

所有右节点的下标都是2i+2

 

 

只要知道父节点就可以算出左和右的子节点

知道到左右节点的索引后都可以直接减一再底板除(//)来得到父节点的索引(底板除得到小数后向下取整,不会四舍五入)

 

 

2.堆:


一种特殊的完全二叉树结构

大根堆:

一棵完全二叉树,满足任一节点都比孩子节点大

 

 

 

小根堆:

一棵完全二叉树,满足任一节点都比其孩子节点小

 

 

 

 

堆的向下调整:

堆整体不是个跟堆,但是左子树是个大根堆或小根堆,右子树是个大根堆或者小根堆(左右要保持一致都是大根堆或者都是小根堆)

这时可以通过向下调整使得整个跟堆变成一个大根堆或者小根堆

 

如图,左右都是大根堆,但是整体不是大根堆,此时要把2向下调整

 

 

调整后:整体是个大根堆

 

 

堆排序:

时间复杂度:O(nlogn)

推算:

  sift是logn,这个函数每次运行时走的是树的高度,每次都折半,不是左就是右,所以是logn

  heap_sort是n或n/2,里面又套了sift,所以就是nlogn

 

步骤:

1.建立堆
2.得到堆顶元素,为最大元素
3.去掉堆顶,将堆最后一个元素(叶子结点最右边的元素,上图中3就是最后一个元素)放到堆顶,此时可以通过一次调整(向下调整)重新使堆有序
4.堆顶元素为第二大元素
5.重复步骤3,直到堆为空

 

代码: 

步骤:先建大根堆,再从下到上循环每个父节点(自下而上就不怕你向下取循环,因为之前的都已经循环过了,最大的数字一定在上面),造出大根堆,

最后取根节点值与最后一个索引位置交换,再用sift方法从头到尾n-2..直到0,一个一个地与根节点值进行交换,交换后的最后面的索引的值就是当前列表的最大值(排序就一点一点的按照列表的顺序来了).

 

 

# 堆排序(没用递归)
#第一步:调整三个节点:父节点和左右子节点,使其成为大根堆,如果while能一直向下循环,那么这次操作就是一次向下循环
def sift(li, low, high):
    """
    :param li: 列表
    :param low: 堆的根节点位置
    :param high: 堆的最后一个元素的位置,high是最后一个数字的索引,超了high就不存在了
    :return:
    """
    i = low # i最开始指向根节点,根节点数字的索引
    j = 2 * i + 1 # j开始是左孩子,j是i的左孩子的索引
    tmp = li[low] # 把堆顶存起来
    while j <= high: # 只要j位置有数
        #如果右孩子节点存在,就和左孩子节点比较大小,把大的值放到l[j]中
        if j + 1 <= high and li[j+1] > li[j]: # 如果右孩子有并且右孩子比左孩子大,j + 1 <= high保证右孩子不超索引范围
            j = j + 1  # j指向右孩子
        #如果子节点中最大值大于父节点的值,那就将父节点的值改成最大的子节点的值,此时i指的是父节点的索引,l[j]是三个节点中的最大值
        if li[j] > tmp: #子节点找到了最大的li[j],他要和根节点(如果不在顶层就是父节点了)的数字比大小,大的放在根节点
            li[i] = li[j]
            i = j           # 往下看一层,相当于i+=1,i向下走了一层,j也就向下走一层,找到了下一层的左孩子
            j = 2 * i + 1
        #如果前面两个if都不成立,那么父节点(tmp)的值就是三个节点中最大的了
        else:       # tmp更大,把tmp放到i的位置上
            li[i] = tmp     # 把tmp放到某一级领导位置上
            break
    #如果j超过了索引范围,那么此时i就指到了叶子节点(也就是最后一行了),那么就证明tmp是最小的,就把tmp放到最后一行空着的的叶子节点(li[i])即可
    else:#此时j>high,而i到了最后一行了,就把tmp放到最后一行的子叶了
        li[i] = tmp  # 把tmp放到叶子节点上


#建堆+出列表
def heap_sort(li):
    n = len(li)
    # 循环所有父节点建堆(重点:倒序循环父节点,从最下面的父节点开始循环)
    for i in range((n-2)//2, -1, -1):
        #先从最后一个节点的父节点开始循环,
        # 最后一个节点假设是i,它的父节点就是(i-1)//2这是固定的算法,不管是左子节点还是右子节点,
        # 现在最后一个数字索引是n-1,那么他的父节点就是(n-2)//2
        # i表示建堆的时候调整的部分的根的下标,每次i都是一个父节点,调整的是他的子树(只包含自己的两个子节点)
        #这里是从(n-2)//2遍历到0(顾头不顾尾),倒序(-1)
        sift(li, i, n-1)
        #这里n-1一直指代这个堆的最后一个叶子节点,
        # 其实他应该变化,每次都应该指该子树的右子节点,
        # 但是这个不容易求,n-1肯定比其他子树的右子节点大,用它限制肯定会多算几步,但是一定不会错

    # 建堆完成了(是按照堆的顺序排的数字)
    print('跟堆建成:',li)#现在出来的列表是按照堆的顺序拿出来的,还要最后排一下序

    #按照列表的顺序排序()
    for i in range(n-1, -1, -1): #这里可以改写成(n-1,0,-1),顾头不顾尾,所以0这一次不会继续循环了,到1就结束了,到最后一个元素0索引时,下一步自己和自己交换就没意思了,所以我个人认为可以吧-1换成0
        # i 每次取值都是指向当前堆的最后一个元素
        #从n-1遍历到0,每次步长是-1,就相当于是列表从最右端每次都向最左端挪一位
        li[0], li[i] = li[i], li[0]
        sift(li, 0, i - 1)
        #i-1是新的high,i指的是最后一个数字,他现在放的是根节点那个最大数字,
        # 循环一次就相当于最大值找到了,再循环一次就又找了个第二大的


li = [i for i in range(100)]
import random
random.shuffle(li)
print('手动建的乱序表:',li)

heap_sort(li)
print('排序后的结果:',li)

 

sift的操作就是自上而下把每三个节点(父节点,左右子节点)都组成大根堆

注意:如果你不确定你这个堆整体是大根堆,你从根节点开始,用sift方法最后得到的不一定是大根堆,因为最大的数字不一定在最上面三个节点里面出现.

 

 

 

python中有对排列模块heapq:

import heapq #q表示queue队列的意思  实现优先队列(优先小的先出或者大的先出)
import random
li = list(range(100))
random.shuffle(li)
print(li)#新建的乱序列表
heapq.heapify(li) #建堆,这里python模块默认建的是小根堆
n=len(li)
lst=[]
for i in range(n):
    # print(heapq.heappop(li), end=' ')#小根堆,每次都弹出最小的
    lst.append(heapq.heappop(li))
print(lst)

 

 

堆排序的topk问题:

topk问题:列表有n个数字,从大到小排序,我取前k大的数字

应用场景:微博热搜问题,不需要存数据库,因为很多,而且时间间隔不长,经常会更换.

解决思路:

  ①先排序(快排),后切片 时间复杂度(最大):O(nlogn+k) 当k<n时k可以省略.O(nlogn)

  ②冒泡/选择/插入,排序后再切片, 时间复杂度(第二大): O(kn)

  ③堆排序, 时间复杂度(最小):O(nlogk)当k为128时,logk=7,很小的,k越大,这里面堆排序复杂度就相对越小

实现步骤(堆排序思路):

  ①取列表前k个元素,并建立一个小根堆,堆顶就是列表中第k大的数字

  ②从k往后依次遍历原来的列表,取出一个数字就和堆顶的数字比大小,如果堆顶的数字较大,那循环继续往下走,不做任何操作,如果你从原列表取的数字大于堆顶的数字,那就将他替换堆顶的数字,并对这k个元素组成的堆进行调整,使之成为一个新的小根堆.

  ③当你从k+1直到遍历完原列表,,你得到了一个小根堆,这个小根堆就是前k大的数字,你再像堆排序最后出数那样倒序弹出堆顶的数字(因为现在是小根堆,堆顶数字是这里面最小的)

 

代码:

 

def sift(li, low, high):
    i = low
    j = 2 * i + 1
    tmp = li[low]
    while j <= high:
        if j + 1 <= high and li[j+1] < li[j]:
            j = j + 1
        if li[j] < tmp:
            li[i] = li[j]
            i = j
            j = 2 * i + 1
        else:
            break
    li[i] = tmp


def topk(li, k):
    heap = li[0:k]
    # 1.建堆
    for i in range((k-2)//2, -1, -1):
        sift(heap, i, k-1)
    # 2.遍历原列表k以外的元素(k到n-1)注:k以外的第一个元素的索引是k,最终得到的小根堆只包含前k大的数字
    for i in range(k, len(li)):
        if li[i] > heap[0]:
            heap[0] = li[i]
            sift(heap, 0, k-1)

    # 3.出数(前k大的数字已经拿好了都在heap里面了,都在小根堆上,现在是要排序了)
    for i in range(k-1, -1, -1): #这里可以改写成(k-1,0,-1),因为最后一次是heap[0]和自己交换,没意义,所以就到1时就结束了(range顾头不顾尾)
        heap[0], heap[i] = heap[i], heap[0]
        sift(heap, 0, i - 1)

    return heap#你要的数字已经存到了heap里面了

import random
li = list(range(200))
random.shuffle(li)

print(topk(li, 10))#我取前10个大的数字

 

 
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